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折叠产生的轨迹圆
信息编号： 2527 发布时间： 20-08-07 有效期：长期有效举报

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题目：湖州市2020中考数学第23题

已知在△ABC中，AC=BC=m，D是AB边上的一点，将∠B沿着过点D的直线折叠，使点B落在AC边的P处（不与点A,C重合），折痕交BC边于点E.

(1) 特例感知如图1，若∠C=60°，D是AB的中点，求证：AP=AC/2

(2) 变式求异如图2，若∠C=90°，m=6根号2，AD=7,过点D作DH⊥AC于点H,求DH和AP的长。

化归探究如图3，若m=10，AB=12,且当AD=a时，存在两次不同的折叠，使点B落在AC边上两个不同的位置，请直接写出a的取值范围。

问（1）

∵△ABC是等边三角形，D是AB的中点

∴BD=DP=DA

∵∠A=60°

∴△APD是等边三角形，AP=AC/2

问（2）Rt△ABC是等腰直角三角形

∵Rt△ABC∽Rt△ADH

∴AH=7根号2/2

过P作PG⊥AB于点G，Rt△PAG是等腰直角三角形

设AG=PG=x，GD=7-x，PD=PB=5

Rt△PGD中运用勾股定理

解得x=3或者x=4

P可以在H两侧，两个解都可以取

AP=3根号2或者AP=4根号2

问（3）△ABC是一个等腰三角形，过顶点作底边的垂线，如下图，若D是中点，则Rt△CDA是边长比为3:4:5的直角三角形。

观察（2）可以发现，如果DB=DH有1个交点，如果DB＞DH则有2个交点，由此产生第一个不等式

12-a＞4a/5 a＜20/3

a＞0 应该没有什么问题，不过0＜a＜20/3对吗？

这里还需要考虑一个基础条件，那就是a取什么值时，DB能够与AC产生2个交点，且不与A、C重合？

结合问（1）

当以D为圆心，以BD为半径的圆与AC有2个交点，则a＞6

所以a的取值范围是6＜a＜20/3

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